Memahami model penentuan harga opsi binomial

Menentukan Harga Stok

Menyetujui penetapan harga yang akurat untuk aset apa pun yang dapat diperdagangkan merupakan tantangan — itulah sebabnya harga saham terus berubah. Pada kenyataannya, perusahaan hampir tidak mengubah valuasi mereka setiap hari, tetapi harga dan valuasi saham mereka berubah hampir setiap detik. Kesulitan dalam mencapai konsensus tentang penetapan harga yang benar untuk setiap aset yang dapat diperdagangkan menyebabkan peluang arbitrase yang berumur pendek.

Tetapi banyak investasi yang berhasil bermuara pada pertanyaan sederhana penilaian saat ini - berapa harga saat ini yang tepat untuk hasil yang diharapkan di masa depan?

Penilaian Opsi Binominal

Dalam pasar yang kompetitif, untuk menghindari peluang arbitrase, aset dengan struktur hasil yang identik harus memiliki harga yang sama. Penilaian opsi telah menjadi tugas yang menantang dan variasi harga mengarah pada peluang arbitrase. Black-Scholes tetap menjadi salah satu model paling populer yang digunakan untuk opsi penetapan harga tetapi memiliki keterbatasan.

Model penentuan harga opsi binomial adalah metode populer lainnya yang digunakan untuk opsi penetapan harga.

Contohnya

Asumsikan ada opsi panggilan pada saham tertentu dengan harga pasar saat ini $ 100. Opsi at-the-money (ATM) memiliki strike price $ 100 dengan waktu untuk kedaluwarsa selama satu tahun. Ada dua pedagang, Peter dan Paula, yang keduanya setuju bahwa harga saham akan naik menjadi $ 110 atau turun menjadi $ 90 dalam satu tahun.

Mereka setuju pada tingkat harga yang diharapkan dalam jangka waktu tertentu satu tahun tetapi tidak setuju pada probabilitas pergerakan naik atau turun. Peter percaya bahwa probabilitas harga saham akan menjadi $ 110 adalah 60%, sementara Paula percaya itu adalah 40%.

Berdasarkan itu, siapa yang mau membayar harga lebih untuk opsi panggilan? Mungkin Peter, karena ia mengharapkan probabilitas tinggi dari pergerakan naik.

Perhitungan Opsi Binominal

Dua aset, yang bergantung pada penilaian, adalah opsi panggilan dan stok yang mendasarinya. Ada kesepakatan di antara para peserta bahwa harga saham yang mendasarinya dapat bergerak dari $ 100 saat ini menjadi $ 110 atau $ 90 dalam satu tahun dan tidak ada pergerakan harga lain yang memungkinkan.

Dalam dunia bebas arbitrase, jika Anda harus membuat portofolio yang terdiri dari dua aset ini, opsi beli dan stok pokok, sehingga terlepas dari ke mana arah harga dasar - $ 110 atau $ 90 - laba bersih pada portofolio selalu tetap sama.. Misalkan Anda membeli saham "d" opsi pokok dan satu panggilan pendek untuk membuat portofolio ini.

Jika harganya mencapai $ 110, saham Anda akan bernilai $ 110 * d, dan Anda akan kehilangan $ 10 pada pembayaran panggilan singkat. Nilai bersih portofolio Anda adalah (110d - 10).

Jika harganya turun menjadi $ 90, saham Anda akan bernilai $ 90 * d, dan opsi akan kedaluwarsa. Nilai bersih portofolio Anda akan menjadi (90d).

$\begin{matrix} h (d) - m = l (d) \\ dimana: \\ h = Harga dasar potensial tertinggi \\ d = Jumlah saham pokok \\ m = Uang hilang pada pembayaran panggilan singkat \\ l = Harga dasar potensial terendah \end{matrix} \ begin {aligned} & h (d) - m = l (d) \ & \ textbf {di mana:} \ & h = \ text {Harga dasar potensial tertinggi} \ & d = \ text {Jumlah saham pokok} \ & m = \ text {Uang hilang karena pembayaran panggilan singkat} \ & l = \ text {Harga dasar potensial terendah} \ \ end {sejajar}$ H (d) −m = l (d) di mana: h = Harga dasar yang mendasari potensi tertinggi = Jumlah saham yang mendasari = Uang hilang pada pembayaran panggilan singkat = Harga dasar potensial terendah

Jadi, jika Anda membeli setengah bagian, dengan asumsi pembelian fraksional adalah mungkin, Anda akan berhasil membuat portofolio sehingga nilainya tetap sama di kedua negara bagian yang mungkin dalam jangka waktu tertentu satu tahun.

$\begin{matrix} 110 d - 10 = 90 d \\ d = \frac{1}{2} \end{matrix} \ begin {aligned} & 110d - 10 = 90d \\ & d = \ frac {1} {2} \ \ end {aligned}$ 110d − 10 = 90dd = 21

Nilai portofolio ini, ditunjukkan oleh (90d) atau (110d - 10) = 45, adalah satu tahun ke depan. Untuk menghitung nilai sekarang, dapat didiskontokan oleh tingkat pengembalian bebas risiko (dengan asumsi 5%).

$\begin{matrix} Nilai saat ini & = 90 d \times e^{(- 5 % \times 1 Tahun)} \\ = 45 \times 0.9523 \\ = 42.85 \end{matrix} \ begin {aligned} text {Value Present} & = 90d \ kali e ^ {(-5 \% \ times 1 \ text {Year})} \ & = 45 \ kali 0, 9523 \\ & = 42, 85 \\ \ end {aligned}$ Nilai Sekarang = 90d × e (−5% × 1 Tahun) = 45 × 0.9523 = 42.85

Sejak saat ini, portofolio terdiri dari ½ saham dari saham pokok (dengan harga pasar $ 100) dan satu panggilan singkat, itu harus sama dengan nilai sekarang.

$\begin{matrix} \frac{1}{2} \times 100 - 1 \times Harga Panggilan = $ 42.85 \\ Harga Panggilan = $ 7.14, yaitu harga panggilan hari ini \end{matrix} \ begin {aligned} & \ frac {1} {2} kali 100 - 1 \ kali \ text {Harga Panggilan} = \ $ 42, 85 \\ & \ text {Harga Panggilan} = \ $ 7, 14 \ text {, yaitu harga panggilan hari ini} \ \ end {sejajar}$ 21 × 100−1 × Harga Panggilan = $ 42, 85 Harga Panggilan = $ 7, 14, yaitu harga panggilan hari ini

Karena ini didasarkan pada asumsi bahwa nilai portofolio tetap sama tanpa memandang ke arah mana harga pokok bergerak, probabilitas pergerakan naik atau turun tidak memainkan peran apa pun. Portofolio tetap bebas risiko terlepas dari pergerakan harga yang mendasarinya.

Dalam kedua kasus (diasumsikan naik ke $ 110 dan turun ke $ 90), portofolio Anda netral terhadap risiko dan menghasilkan tingkat pengembalian bebas risiko.

Oleh karena itu, kedua pedagang, Peter dan Paula, akan bersedia membayar $ 7, 14 yang sama untuk opsi panggilan ini, terlepas dari perbedaan persepsi mereka tentang probabilitas pergerakan naik (60% dan 40%). Probabilitas yang dirasakan secara individu tidak penting dalam penilaian opsi.

Seandainya probabilitas individual itu penting, peluang arbitrage mungkin telah muncul dengan sendirinya. Di dunia nyata, peluang arbitrase semacam itu ada dengan perbedaan harga kecil dan menghilang dalam jangka pendek.

Tetapi di mana volatilitas yang sangat banyak dalam semua perhitungan ini, faktor penting dan sensitif yang mempengaruhi penetapan harga opsi?

Volatilitas sudah termasuk dalam sifat definisi masalah. Dengan asumsi dua (dan hanya dua — maka nama "binomial") menyatakan tingkat harga ($ 110 dan $ 90), volatilitas tersirat dalam asumsi ini dan dimasukkan secara otomatis (10% dalam contoh ini).

Black-Scholes

Tetapi apakah pendekatan ini benar dan koheren dengan penetapan harga Black-Scholes yang umum digunakan? Pilihan hasil kalkulator (milik OIC) sangat cocok dengan nilai yang dihitung:

Sayangnya, dunia nyata tidak sesederhana "hanya dua negara." Saham dapat mencapai beberapa level harga sebelum waktu berakhir.

Apakah mungkin untuk memasukkan semua level ini dalam model penetapan harga binomial yang dibatasi hanya pada dua level? Ya, sangat mungkin, tetapi untuk memahaminya dibutuhkan beberapa matematika sederhana.

Matematika Sederhana

Untuk menggeneralisasi masalah dan solusi ini:

"X" adalah harga pasar saat ini dari sebuah saham dan "X * u" dan "X * d" adalah harga di masa depan untuk naik dan turun bergerak "t" tahun kemudian. Faktor "u" akan lebih besar dari satu karena ini menunjukkan gerakan naik dan "d" akan terletak di antara nol dan satu. Untuk contoh di atas, u = 1.1 dan d = 0.9.

Imbalan opsi panggilan adalah "P _atas " dan "P _dn " untuk gerakan naik dan turun pada saat kedaluwarsa.

$\begin{matrix} VUM = s \times X \times kamu - P_{naik} \\ dimana: \\ VUM = Nilai portofolio jika naik \end{matrix} \ begin {aligned} & \ text {VUM} = s \ kali X \ kali u - P_ \ text {up} \ & \ textbf {dimana:} \ & \ text {VUM} = \ text {Nilai portofolio seandainya ada gerakan naik} \ \ end {sejajar}$ VUM = s × X × u − Pup di mana: VUM = Nilai portofolio jika naik

$\begin{matrix} VDM = s \times X \times d - P_{turun} \\ dimana: \\ VDM = Nilai portofolio jika turun \end{matrix} \ begin {aligned} & \ text {VDM} = s \ kali X \ kali d - P_ \ text {down} \ & \ textbf {dimana:} \ & \ text {VDM} = \ text {Nilai portofolio seandainya ada gerakan turun} \ \ end {aligned}$ VDM = s × X × d − Pdown di mana: VDM = Nilai portofolio jika terjadi pergerakan turun

Untuk penilaian serupa dalam kedua kasus pergerakan harga:

$s \times X \times kamu - P_{naik} = s \times X \times d - P_{turun} s \ kali X \ kali u - P_ \ teks {atas} = s \ kali X \ kali d - P_ \ teks {bawah}$ s × X × u − Pup = s × X × d − Pdown

$\begin{matrix} s & = \frac{P_{naik} - P_{turun}}{X \times (kamu - d)} \\ = Jumlah saham yang akan dibeli \\ portofolio bebas risiko \end{matrix} \ begin {aligned} s & = \ frac {P_ \ text {atas} - P_ \ text {down}} {X \ kali (u - d)} \ & = \ text {Jumlah saham yang akan dibeli untuk} \ & \ phantom {=} text {portofolio bebas risiko} \ \ end {sejajar}$ s = X × (u − d) Pup −Pdown = Jumlah saham yang akan dibeli = portofolio bebas risiko

Nilai portofolio di masa mendatang pada akhir tahun "t" adalah:

$\begin{matrix} Jika Naik Pindah & = s \times X \times kamu - P_{naik} \\ = \frac{P_{naik} - P_{turun}}{kamu - d} \times kamu - P_{naik} \end{matrix} \ begin {aligned} text {Jika Naik Pindah} & = s \ kali X \ kali u - P_ \ text {up} \ & = \ frac {P_ \ text {atas} - P_ \ text {ke bawah} } {u - d} kali u - P_ \ teks {atas} \ \ end {sejajar}$ Seandainya Atas Bergerak = s × X × u − Pup = u − dPup −Menurunkan × u − Pup

$\begin{matrix} Dalam Kasus Down Move & = s \times X \times d - P_{turun} \\ = \frac{P_{naik} - P_{turun}}{kamu - d} \times d - P_{turun} \end{matrix} \ begin {aligned} text {Seandainya Down Move} & = s \ kali X \ kali d - P_ \ text {down} \ & = \ frac {P_ \ text {atas} - P_ \ text {down} } {u - d} kali d - P_ \ teks {bawah} \ \ end {sejajar}$ Dalam Kasus Gerakan Turun = s × X × d − Pdown = u − dPup −Pdown × d − Pdown

Nilai saat ini dapat diperoleh dengan mendiskontokannya dengan tingkat pengembalian bebas risiko:

$\begin{matrix} PV = e (- r t) \times \\ dimana: \\ PV = Nilai Sekarang-Hari \\ r = Tingkat pengembalian \\ t = Waktu, bertahun-tahun \end{matrix} \ begin {aligned} & \ text {PV} = e (-rt) kali \ kiri \\ & \ textbf {di mana:} \ & \ text {PV} = \ text {Nilai Hari Ini} \ & r = \ text {Tingkat pengembalian} \ & t = \ text {Waktu, dalam tahun} \ \ end {sejajar}$ PV = e (−rt) × di mana: PV = Penilai Hari Ini = Tingkat pengembalian = Waktu, dalam tahun

Ini harus cocok dengan kepemilikan portofolio saham "s" dengan harga X, dan nilai panggilan pendek "c" (holding saat ini dari (s * X - c) harus menyamakan dengan perhitungan ini.) Memecahkan "c" akhirnya memberikannya sebagai:

Catatan: Jika premi panggilan disingkat, itu harus menjadi tambahan untuk portofolio, bukan pengurangan.

$c = \frac{e (- r t)}{kamu - d} \times c = \ frac {e (-rt)} {u - d} kali$ c = u − de (−rt) ×

Cara lain untuk menulis persamaan adalah dengan mengaturnya:

Mengambil "q" sebagai:

$q = \frac{e (- r t) - d}{kamu - d} q = \ frac {e (-rt) - d} {u - d}$ q = u − de (−rt) −d

Maka persamaannya menjadi:

$c = e (- r t) \times (q \times P_{naik} + (1 - q) \times P_{turun}) c = e (-rt) kali (q \ kali P_ \ teks {atas} + (1 - q) kali P_ \ teks {bawah})$ c = e (−rt) × (q × Pup + (1 − q) × Pdown)

Mengatur ulang persamaan dalam hal "q" telah menawarkan perspektif baru.

Sekarang Anda dapat mengartikan "q" sebagai probabilitas gerakan naik yang mendasarinya (karena "q" dikaitkan dengan P _naik dan "1-q" dikaitkan dengan P _dn). Secara keseluruhan, persamaan mewakili harga opsi saat ini, nilai diskon dari pembayaran pada saat kedaluwarsa.

"Q" ini Berbeda

Bagaimana probabilitas “q” ini berbeda dari probabilitas gerakan naik atau turun yang mendasarinya?

$\begin{matrix} VSP = q \times X \times kamu + (1 - q) \times X \times d \\ dimana: \\ VSP = Nilai Harga Saham saat itu t \end{matrix} \ begin {aligned} & \ text {VSP} = q \ kali X \ kali u + (1 - q) kali X \ kali d \\ & \ textbf {di mana:} \ & \ text {VSP} = \ text {Nilai Harga Stok Saat Ini} t \\ \ end {sejajar}$ VSP = q × X × u + (1 − q) × X × di mana saja: VSP = Nilai Harga Saham pada Waktu t

Mengganti nilai "q" dan mengatur ulang, harga saham pada saat "t" datang ke:

$\begin{matrix} Harga saham = e (r t) \times X \end{matrix} \ begin {aligned} & \ text {Harga Saham} = e (rt) kali X \\ \ end {aligned}$ Harga Saham = e (rt) × X

Dalam dunia dua negara yang diasumsikan ini, harga saham naik dengan tingkat pengembalian bebas risiko, persis seperti aset bebas risiko, dan karenanya tetap independen dari risiko apa pun. Investor acuh tak acuh terhadap risiko dalam model ini, jadi ini merupakan model risiko-netral.

Probabilitas "q" dan "(1-q)" dikenal sebagai probabilitas risiko netral dan metode penilaian dikenal sebagai model penilaian risiko netral.

Skenario contoh memiliki satu persyaratan penting - struktur hasil di masa depan diperlukan dengan presisi (level $ 110 dan $ 90). Dalam kehidupan nyata, kejelasan tentang tingkat harga berbasis langkah tidak mungkin; melainkan harga bergerak secara acak dan mungkin menetap di beberapa level.

Untuk memperluas contoh lebih lanjut, asumsikan bahwa tingkat harga dua langkah dimungkinkan. Kami tahu hasil akhir langkah kedua dan kami perlu menilai opsi hari ini (pada langkah awal):

Bekerja mundur, penilaian langkah pertama menengah (pada t = 1) dapat dibuat menggunakan hasil akhir pada langkah dua (t = 2), kemudian menggunakan penilaian langkah pertama yang dihitung ini (t = 1), penilaian saat ini (t = 0) dapat dihubungi dengan perhitungan ini.

Untuk mendapatkan penetapan harga opsi di nomor dua, hadiah di empat dan lima digunakan. Untuk mendapatkan harga untuk nomor tiga, imbalan pada lima dan enam digunakan. Akhirnya, hasil yang dihitung pada dua dan tiga digunakan untuk mendapatkan harga di nomor satu.

Harap perhatikan bahwa contoh ini mengasumsikan faktor yang sama untuk gerakan naik (turun) pada kedua langkah - u dan d diterapkan dengan cara majemuk.

Contoh Kerja

Asumsikan opsi put dengan harga strike $ 110 saat ini diperdagangkan pada $ 100 dan berakhir dalam satu tahun. Tingkat bebas risiko tahunan adalah 5%. Harga diperkirakan akan meningkat 20% dan turun 15% setiap enam bulan.

Di sini, u = 1.2 dan d = 0.85, x = 100, t = 0.5

menggunakan rumus turunan dari

$q = \frac{e (- r t) - d}{kamu - d} q = \ frac {e (-rt) - d} {u - d}$ q = u − de (−rt) −d

kita dapatkan q = 0, 35802832

nilai opsi put pada poin 2, $\begin{matrix} {hal}_{2} = e (- r t) \times (hal \times P_{naik naik} + (1 - q) P_{pembaruan}) \\ dimana: \\ hal = Harga opsi put \end{matrix} \ begin {aligned} & p_2 = e (-rt) times (p \ kali P_ \ text {upup} + (1 - q) P_ \ text {updn}) \ & \ textbf {dimana:} \ & p = \ text {Harga opsi put} \ \ end {sejajar}$ P2 = e (−rt) × (p × Pupup + (1 − q) Pupdn) di mana: p = Harga opsi put

Pada kondisi P _upup, yang mendasarinya adalah = 100 * 1.2 * 1.2 = $ 144 yang mengarah ke P _upup = nol

Pada kondisi P _updn, underlying akan = 100 * 1.2 * 0.85 = $ 102 yang mengarah ke P _updn = $ 8

Pada kondisi P _dndn, yang mendasari akan = 100 * 0, 85 * 0, 85 = $ 72, 25 yang mengarah ke P _dndn = $ 37, 75

p ₂ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 0 + (1-0, 35802832) * 8) = 5.008970741

Demikian pula, p ₃ = 0, 975309912 * (0.35802832 * 8 + (1-0.35802832) * 37.75) = 26.42958924

${hal}_{1} = e (- r t) \times (q \times {hal}_{2} + (1 - q) {hal}_{3}) p_1 = e (-rt) kali (q \ kali p_2 + (1 - q) p_3)$ p1 = e (−rt) × (q × p2 + (1 − q) p3)

Dan karenanya nilai opsi put, p ₁ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 5.008970741 + (1-0.35802832) * 26.42958924) = $ 18, 29.

Demikian pula, model binomial memungkinkan Anda untuk memecah seluruh durasi opsi untuk lebih menyempurnakan beberapa langkah dan level. Menggunakan program komputer atau spreadsheet, Anda dapat bekerja mundur satu langkah pada satu waktu untuk mendapatkan nilai sekarang dari opsi yang diinginkan.

Contoh lain

Asumsikan put option tipe Eropa dengan sembilan bulan untuk kedaluwarsa, harga strike $ 12 dan harga pokok saat ini pada $ 10. Asumsikan tingkat bebas risiko sebesar 5% untuk semua periode. Asumsikan setiap tiga bulan, harga dasar dapat bergerak 20% naik atau turun, memberi kita u = 1, 2, d = 0, 8, t = 0, 25 dan pohon binomial tiga langkah.

Merah menunjukkan harga yang mendasarinya, sedangkan biru menunjukkan hasil dari opsi put.

Probabilitas risiko-netral "q" dihitung menjadi 0, 531446.

Dengan menggunakan nilai "q" dan nilai hasil di atas pada t = sembilan bulan, nilai yang sesuai pada t = enam bulan dihitung sebagai:

Selanjutnya, menggunakan nilai-nilai yang dihitung pada t = 6, nilai pada t = 3 kemudian pada t = 0 adalah:

Itu memberikan nilai saat ini dari opsi put sebagai $ 2, 18, cukup dekat dengan apa yang Anda temukan melakukan perhitungan menggunakan model Black-Scholes ($ 2, 30).

Garis bawah

Meskipun menggunakan program komputer dapat membuat perhitungan intensif ini mudah, prediksi harga di masa depan tetap menjadi keterbatasan utama model binomial untuk penentuan harga opsi. Semakin baik interval waktu, semakin sulit untuk memprediksi imbalan pada akhir setiap periode dengan tingkat presisi tinggi.

Namun, fleksibilitas untuk memasukkan perubahan yang diharapkan pada periode yang berbeda adalah nilai tambah, yang membuatnya cocok untuk menentukan harga opsi Amerika, termasuk penilaian latihan awal.

Nilai yang dihitung dengan menggunakan model binomial sangat cocok dengan yang dihitung dari model lain yang biasa digunakan seperti Black-Scholes, yang menunjukkan utilitas dan akurasi model binomial untuk penentuan harga opsi. Model harga binomial dapat dikembangkan sesuai dengan preferensi pedagang dan dapat berfungsi sebagai alternatif Black-Scholes.

Daftar Isi: