Bunga majemuk berkelanjutan

Bunga majemuk adalah bunga yang dihitung berdasarkan pokok awal dan juga bunga yang diakumulasikan dari deposito atau pinjaman periode sebelumnya. Efek bunga majemuk tergantung pada frekuensi.

Asumsikan tingkat bunga tahunan sebesar 12%. Jika kita memulai tahun dengan $ 100 dan hanya menghasilkan satu kali, pada akhir tahun, prinsipal tumbuh menjadi $ 112 ($ 100 x 1, 12 = $ 112). Jika kita malah menambah setiap bulan sebesar 1%, kita berakhir dengan lebih dari $ 112 pada akhir tahun. Yaitu, $ 100 x 1, 01 ^ 12 pada $ 112, 68. (Ini lebih tinggi karena kami lebih sering berkembang.)

Terus majemuk menghasilkan senyawa paling sering dari semua. Penggabungan berkelanjutan adalah batas matematis yang dapat dicapai minat majemuk. Ini adalah kasus penggabungan yang ekstrem karena sebagian besar bunga diperparah secara bulanan, triwulanan, atau setengah tahunan.

Tingkat Pengembalian Setengah Tahunan

Pertama, mari kita lihat pada konvensi yang berpotensi membingungkan. Di pasar obligasi, kami mengacu pada hasil setara obligasi (atau dasar setara obligasi). Ini berarti bahwa jika suatu obligasi menghasilkan 6% pada basis tengah tahunan, hasil setara obligasi adalah 12%.

Gambar oleh Julie Bang © Investopedia 2019

Hasil setengah tahunan hanya dua kali lipat. Ini berpotensi membingungkan karena hasil efektif dari ikatan imbal hasil setara obligasi 12% adalah 12, 36% (yaitu, 1, 06 ^ 2 = 1, 1236). Menggandakan hasil setengah tahunan hanyalah sebuah konvensi penamaan obligasi. Oleh karena itu, jika kita membaca tentang ikatan 8% yang diperparah setiap semester, kita asumsikan ini merujuk pada hasil setengah tahunan 4%.

Tingkat Pengembalian Triwulanan, Bulanan, dan Harian

Sekarang, mari kita bahas frekuensi yang lebih tinggi. Kami masih mengasumsikan tingkat bunga pasar tahunan 12%. Di bawah konvensi penamaan obligasi, yang menyiratkan tingkat majemuk setengah tahunan 6%. Kami sekarang dapat mengekspresikan suku bunga triwulanan sebagai fungsi dari suku bunga pasar.

Gambar oleh Julie Bang © Investopedia 2019

Diberikan kurs pasar tahunan ( r), kurs majemuk triwulanan ( r _q) diberikan oleh:

$\begin{matrix} r_{q} = 4 \end{matrix} \ begin {aligned} & r_q = 4 \ left \\ \ end {aligned}$ Rq = 4

Jadi, untuk contoh kita, di mana tingkat pasar tahunan adalah 12%, tingkat gabungan triwulanan adalah 11, 825%:

$\begin{matrix} r_{q} = 4 ≅ 11.825 % \end{matrix} \ begin {aligned} & r_q = 4 \ left \ cong 11.825 \% \\ \ end {aligned}$ Rq = 4≅11, 825%

Gambar oleh Julie Bang © Investopedia 2019

Logika yang sama berlaku untuk compounding bulanan. Tingkat bunga majemuk bulanan ( rm ) diberikan di sini sebagai fungsi dari tingkat bunga pasar tahunan ( r):

Kurs majemuk harian ( d) sebagai fungsi dari suku bunga pasar ( r) diberikan oleh:

$\begin{matrix} r_{d} & = 360 \\ = 360 \\ ≅ 11.66 % \end{matrix} \ begin {aligned} r_d & = 360 \ left \\ & = 360 \ left \\ & \ cong 11.66 \% \\ \ end {aligned}$ rd = 360 = 360≅11.66%

Cara Kerja Senyawa Berkesinambungan

Gambar oleh Julie Bang © Investopedia 2019

Jika kita meningkatkan frekuensi gabungan hingga batasnya, kita terus menerus menambah. Walaupun ini mungkin tidak praktis, tingkat bunga yang terus menerus majemuk menawarkan properti yang sangat nyaman. Ternyata tingkat bunga majemuk terus menerus diberikan oleh:

$\begin{matrix} r_{c Hai n t saya n kamu Hai kamu s} = dalam (1 + r) \end{matrix} \ begin {aligned} & r_ {continuous} = \ ln (1 + r) \ \ end {aligned}$ Rcontinuous = ln (1 + r)

Ln () adalah log natural dan dalam contoh kami, laju gabungan terus-menerus karena itu:

$\begin{matrix} r_{c Hai n t saya n kamu Hai kamu s} = dalam (1 + 0.12) = dalam (1.12) ≅ 11.33 % \end{matrix} \ begin {aligned} & r_ {continuous} = \ ln (1 + 0.12) = \ ln (1.12) cong 11.33 \% \\ \ end {aligned}$ Rcontinuous = ln (1 + 0, 12) = ln (1, 12) ≅11, 33%

Kita sampai ke tempat yang sama dengan mengambil log natural dari rasio ini: nilai akhir dibagi dengan nilai awal.

$\begin{matrix} r_{c Hai n t saya n kamu Hai kamu s} = dalam (\frac{{Nilai}_{Akhir}}{{Nilai}_{Mulailah}}) = dalam (\frac{112}{100}) ≅ 11.33 % \end{matrix} \ begin {aligned} & r_ {continuous} = \ ln \ left ( frac { text {Value} _ \ text {End}} { text {Value} _ \ text {Start}} kanan) = \ ln \ kiri ( frac {112} {100} kanan) cong 11, 33 \% \\ \ end {sejajar}$ Rcontinuous = ln (ValueStart ValueEnd) = ln (100112) ≅11, 33%

Yang terakhir adalah umum ketika menghitung pengembalian yang terus bertambah untuk sebuah saham. Misalnya, jika saham melonjak dari $ 10 satu hari menjadi $ 11 pada hari berikutnya, pengembalian harian terus menerus diberikan oleh:

$\begin{matrix} r_{c Hai n t saya n kamu Hai kamu s} = dalam (\frac{{Nilai}_{Akhir}}{{Nilai}_{Mulailah}}) = dalam (\frac{$ 11}{$ 10}) ≅ 9.53 % \end{matrix} \ begin {aligned} & r_ {continuous} = \ ln \ left ( frac { text {Value} _ \ text {End}} { text {Value} _ \ text {Start}} kanan) = \ ln \ kiri ( frac { $ 11} { $ 10} kanan) cong 9.53 \% \\ \ end {sejajar}$ Rcontinuous = ln (ValueStart ValueEnd) = ln ($ 10 $ 11) ≅9.53%

Apa yang hebat dari tingkat bunga majemuk (atau pengembalian) yang akan kami tunjukkan dengan rc? Pertama, mudah untuk meningkatkannya. Diberi prinsip (P), kekayaan final kami selama (n) tahun diberikan oleh:

$\begin{matrix} w = P e^{r_{c} n} \end{matrix} \ begin {aligned} & w = Pe ^ {r_c n} \ \ end {aligned}$ W = Perc n

Perhatikan bahwa e adalah fungsi eksponensial. Misalnya, jika kita mulai dengan $ 100 dan terus bertambah 8% selama tiga tahun, kekayaan final diberikan oleh:

$\begin{matrix} w = $ 100 e^{(0.08) (3)} = $ 127.12 \end{matrix} \ begin {aligned} & w = \ $ 100e ^ {(0, 08) (3)} = \ $ 127.12 \\ \ end {aligned}$ W = $ 100e (0, 08) (3) = $ 127, 12

Mendiskontokan ke nilai sekarang (PV) semata-mata majemuk secara terbalik , sehingga nilai sekarang dari nilai masa depan (F) diperparah secara terus-menerus pada tingkat ( r _c) diberikan oleh:

$\begin{matrix} PV F diterima dalam (n) tahun = \frac{F}{e^{r_{c} n}} = F e^{- r_{c} n} \end{matrix} \ begin {aligned} & \ text {PV F diterima dalam (n) tahun} = \ frac {F} {e ^ {r_c n}} = Fe ^ {-r_c n} \ \ end {aligned}$ PV F diterima dalam (n) tahun = erc nF = Fe − rc n

Misalnya, jika Anda akan menerima $ 100 dalam tiga tahun di bawah tingkat kontinyu 6%, nilai saat ini diberikan oleh:

$\begin{matrix} PV = F e^{- r_{c} n} = ($ 100) e^{- (0.06) (3)} = $ 100 e^{- 0.18} ≅ $ 83.53 \end{matrix} \ begin {aligned} & \ text {PV} = Fe ^ {-r_c n} = ( $ 100) e ^ {- (0, 06) (3)} = \ $ 100 e ^ {-0.18} cong \ $ 83.53 \\ \ end {aligned}$ PV = Fe − rc n = ($ 100) e− (0, 06) (3) = $ 100e − 0, 18≅ $ 83, 53

Scaling Selama Beberapa Periode

Properti yang nyaman dari pengembalian yang terus-menerus bertambah adalah ia menimbang dalam beberapa periode. Jika pengembalian untuk periode pertama adalah 4% dan pengembalian untuk periode kedua adalah 3%, maka pengembalian dua periode adalah 7%. Anggaplah kita memulai tahun dengan $ 100, yang tumbuh menjadi $ 120 pada akhir tahun pertama, kemudian $ 150 pada akhir tahun kedua. Pengembalian gabungan terus menerus, masing-masing, 18, 23% dan 22, 31%.

$\begin{matrix} dalam (\frac{120}{100}) ≅ 18.23 % \end{matrix} \ begin {aligned} & \ ln \ left ( frac {120} {100} right) cong 18.23 \% \\ \ end {aligned}$ Dalam (100120) ≅18, 23%

$\begin{matrix} dalam (\frac{150}{120}) ≅ 22.31 % \end{matrix} \ begin {aligned} & \ ln \ left ( frac {150} {120} kanan) cong 22.31 \% \\ \ end {aligned}$ Dalam (120150) ≅22, 31%

Jika kita menambahkan ini bersama-sama, kita mendapatkan 40, 55%. Ini adalah pengembalian dua periode:

$\begin{matrix} dalam (\frac{150}{100}) ≅ 40.55 % \end{matrix} \ begin {aligned} & \ ln \ left ( frac {150} {100} right) cong 40.55 \% \\ \ end {aligned}$ Pada (100150) ≅40, 55%

Secara teknis, pengembalian berkelanjutan adalah waktu yang konsisten. Konsistensi waktu adalah persyaratan teknis untuk Value at Risk (VAR). Ini berarti bahwa jika pengembalian satu periode adalah variabel acak berdistribusi normal, kami ingin variabel acak beberapa periode juga terdistribusi secara normal. Lebih lanjut, pengembalian majemuk berulang periode berulang secara normal didistribusikan (tidak seperti, katakanlah, persentase pengembalian sederhana).

Garis bawah

Kami dapat memformulasikan kembali tingkat bunga tahunan menjadi suku bunga setengah tahunan, triwulanan, bulanan, atau harian (atau tingkat pengembalian). Peracikan yang paling sering adalah peracikan berkelanjutan, yang mengharuskan kita untuk menggunakan log alami dan fungsi eksponensial, yang biasanya digunakan dalam keuangan karena sifat-sifatnya yang diinginkan — ia menskala dengan mudah selama beberapa periode dan ini konsisten waktu.

Daftar Isi:

Tingkat Pengembalian Setengah Tahunan

Tingkat Pengembalian Triwulanan, Bulanan, dan Harian

Cara Kerja Senyawa Berkesinambungan

Scaling Selama Beberapa Periode

Garis bawah

Pilihan Editor